previous next Up Title

Todennäköisyyslaskentaa

  1. Selitä käsite satunnaismuuttuja ja sen jakauma.

  2. Noppaa heitetään kaksi kertaa. Mikä on todennäköisyys sille, että ensimmäisellä heitolla tulee vähintään 4 ja toisella heitolla enintään 4?

  3. Kahta noppaa heitetään kaksi kertaa. Mikä on todennäköisyys sille, että pistesumma ei ole 7 tai 11 kummallakaan kerralla? (49/81)

  4. Luokalla on 18 opiskelijaa. Mikä on todennäköisyys, että luokalta löytyy kaksi opiskelijaa, jotka viettävät syntymäpäivää samana päivänä? Kuinka monta opiskelijaa luokalla on oltava, että kysytty todennäköisyys olisi vähintään 0.5? (0.347; 23)

  5. Heitetään kahta noppaa. Lyödään vetoa sen puolesta, että pistelukujen summaksi tulee 5, 6, 7 tai 8. Mitä vikaa on seuraavassa päättelyssä:
    Tulosmahdollisuuksia on 11 erilaista (2 ... 12) ja niistä toivottuja on 4 kappaletta. Todennäköisyys on siis 4/11 = 0,36. Ei kannata!
    Esitä oikea päättely.

  6. Kahta noppaa heitetään. Pistemäärien summa on satunnaismuuttuja X. Laadi taulukko satunnaismuuttujan X jakaumasta. Piirrä jakaumasta pylväsdiagrammi ja histogrammi. Laadi taulukko satunnaismuuttujan X kertymäfunktiosta. Piirrä kertymäfunktion kuvaaja.

  7. Laatikossa on 7 valkoista ja 11 mustaa palloa. Nostetaan satunnaisesti 5 palloa. Millä todennäköisyydellä
    a) saadaan 3 mustaa ja 2 valkoista palloa?
    b) saadaan 2 mustaa ja 3 valkoista palloa?

  8. Seurueessa on 10 henkilöä, joista 6 on miehiä ja 4 naisia.
    a) Kuinka monella tavalla seurueesta voidaan valita 5 hengen toimikunta?
    b) Kuinka monella tavalla seurueesta voidaan valita toimikunta, jossa on 3 miestä ja 2 naista?

  9. Arpajaisissa 'joka kolmas arpa voittaa'.
    a) Ostetaan 6 arpaa. Millä todennäköisyydellä näissä on täsmälleen 2 voittoarpaa?
    b) Ostetaan 6 arpaa. Millä todennäköisyydellä näissä on vähintään 1 voittoarpa?
    c) Kuinka monta arpaa on ostettava, jotta todennäköisyydellä 99,9% saataisiin ainakin yksi voittoarpa?

  10. Arpajaisissa 'joka toinen arpa voittaa'.
    a) Ostetaan 4 arpaa. Millä todennäköisyydellä näissä on täsmälleen 2 voittoarpaa.
    b) Kuinka monta arpaa on ostettava, jotta todennäköisyydellä 0,99 saataisiin ainakin yksi voittoarpa?

  11. Arpajaisissa on 200000 arpaa, joista voittoarpoja on 80000.
    a) Ostetaan 5 arpaa. Millä todennäköisyydellä näissä on täsmälleen 2 voittoarpaa?
    b) Ostetaan 5 arpaa. Millä todennäköisyydellä näissä on vähintään 1 voittoarpa?
    c) Kuinka monta arpaa on ostettava, jotta todennäköisyydellä 99,9% saataisiin ainakin yksi voittoarpa?

  12. Tehtaassa tapahtuu keskimäärin 8 työtapaturmaa kuukaudessa. Millä todennäköisyydellä tehtaassa tapahtuu kahdessa viikossa enemmän kuin 3 työtapaturmaa? Voidaan olettaa, että työtapaturmien lukumäärä on Poisson-jakautunut.

  13. Autojen lastauspaikka on mitoitettu käsittelemään korkeintaan 3 autoa tunnissa. Lastauspaikalle saapuu normaalioloissa keskimäärin 2 autoa tunnissa. Millä todennäköisyydellä lastauspaikalle syntyy ruuhkaa?

  14. Rengasmerkin A keskimääräinen kestoikä on 20000 km ja rengasmerkin B keskimääräinen kestoikä on 16000 km. Sellaisia renkaita, jotka hajoavat jo alle 10000 km:n aikana, on kuitenkin enemmän A-merkkisissä renkaissa kuin B-merkkisissä. Mistä tämä voisi johtua?

  15. Eräs laite tarvitsee huoltoa keskimäärin 3 kuukauden välein. Millä todennäköisyydellä huoltoväli on
    a) alle 3 kuukautta?
    b) kahdesta viiteen kuukautta?
    Oletetaan, että huoltoväli on eksponenttijakautunut.

  16. Lentokoneessa on kaksi vanhaa moottoria A ja B, joiden kestoiät ovat eksponenttijakautuneita, parametreina
    ja
    Mikä on todennäköisyys, että lentokoneella voidaan lentää 3000 kilometrin matka. Lentokone pysyy ilmassa yhdelläkin moottorilla.

  17. Suomalaisten miesten pituus on normaalisti jakautunut parametrein = 177 cm ja = 12 cm.
    a) Mikä on todennäköisyys, että mies on alle 153 cm pitkä?
    b) Mikä on todennäköisyys, että mies on yli 184 cm pitkä?
    c) Mikä on todennäköisyys, että miehen pituus poikkeaa miesten keskipituudesta enintään 9 cm?

  18. Oletetaan, että miesten pituusjakauma on normaali, odotusarvona 175 cm ja hajontana 10 cm.
    a) Mikä on todennäköisyys, että miehen pituus on välillä 171 ... 184 cm?
    b) Vaatetehtailijalle riittää se, että 99 %:lle miehistä löytyy sopivat vaatteet. Kuinka pitkät tai lyhyet miehet eivät löydä sopivia vaatteita kyseisen tehtaan valikoimista.

  19. On todettu, että erään televisiomerkin se kestoikä, jona aikana siihen ei tarvitse tehdä mitään korjauksia, on jakautunut normaalisti parametrein = 4,5 vuotta ja = 1,2 vuotta. Kuinka pitkä takuu tälle televisiolle voidaan myöntää, jotta takuukorjauksia joudutaan suorittamaan enintään 5 prosentille ostajista?

  20. Elektroniikkatehtaan eräs kone valmistaa '100 :n vastuksia'. Koneen tuotantoa tutkittaessa havaittiin, että tuotettujen vastusten resistanssi oli keskimäärin 102 ja hajonta 5 . Kuinka monta prosenttia vastuksista hylätään, kun '100 :n vastusten' resistanssin on oltava välillä 90 ... 110 ? Oletetaan jakauma normaaliksi.

  21. Joen vedenpinnan maksimikorkeus keväisin (normaalitasoon verrattuna) on normaalijakautunut parametrein = 5 m ja = 2 m. Tulvimisen estämiseksi suunnitellaan pengerrystä. Kuinka korkeaksi pengerrys on rakennettava (vedenpinnan normaalitasoon verrattuna), että tulvimisriski olisi alle 5 %?

  22. Onneton sihteeri on kirjoittanut suuren määrän eri henkilöille osoitettuja kirjeitä ja kuoria (umpinaisia, osoite kuoressa). Hän sijoittaa kirjeet umpimähkään kuoriin. Mikä on todennäköisyys, että vähintään yksi kirje menee oikealle vastaanottajalle? (noin 1-e-1 eli 0.632).


Lisää tehtäviä (Word 6 -dokumentti).


previous next Up Title

Takaisin opetusmateriaalisivulle

Copyright 1997 © Kari Lehtonen

Kotisivulleni